📐 排列数公式
排列：从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
A(n, m) = n × (n-1) × ... × (n-m+1) = n! / (n-m)!
全排列 当 m = n 时：A(n, n) = n!
* 阶乘定义：n! = 1×2×3×…×n，0! = 1
🧮 组合数公式
组合：从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n) 个元素，不考虑顺序，叫做组合。
C(n, m) = A(n, m) / m! = n! / [ m! (n-m)! ]
组合恒等式 C(n, m) = C(n, n-m) · C(n, 0) = C(n, n) = 1
📊 排列 vs 组合 快速对比
| 对比项 | 排列 (Permutation) | 组合 (Combination) |
|---|---|---|
| 是否考虑顺序 | ✅ 考虑顺序 | ❌ 不考虑顺序 |
| 公式 | A(n, m) = n!/(n-m)! | C(n, m) = n! / [m!(n-m)!] |
| 符号 | A(n, m) 或 P(n, m) | C(n, m) 或 (ⁿₘ) |
| 典型例子 | 排队、密码、名次 | 选委员、彩票、分组 |
✍️ 经典例题详解
📌 例题 1（排列）
从 5 本不同的书中选出 3 本，并排成一排，有多少种排法？
解： 排列问题，n=5，m=3。
A(5,3) = 5×4×3 = 60 种。
也可以使用公式 5!/(5-3)! = 120/2 = 60。
📌 例题 2（组合）
从 10 名候选人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法？
解： 组合问题，n=10，m=3。
C(10,3) = (10×9×8)/(3×2×1) = 120 种。
或者 10!/(3!×7!) = 120。
📌 例题 3（综合）
7 个人排队，甲必须站在排头，有多少种排法？
解： 甲固定排头，剩余 6 人全排列。
A(6,6) = 6! = 720 种。
📌 例题 4（组合恒等式）
计算 C(8,5) 和 C(8,3) 并比较。
解： C(8,5) = 56，C(8,3) = 56，
相等。因为 C(8,5)=C(8,3) 符合 C(n,m)=C(n,n-m)。
❓ 常见问题与解答
Q1：排列和组合的根本区别是什么？
A： 排列考虑元素的顺序，组合不考虑顺序。例如“ABC”和“ACB”在排列中是两种，在组合中只算一种。
Q2：什么时候用排列，什么时候用组合？
A： 如果问题中涉及“顺序”或“先后”（如排队、名次、密码），用排列；如果只选不排序（如选委员、分组、抽奖），用组合。
Q3：0! 为什么等于 1？
A： 0! = 1 是数学定义，为了保证组合公式在 m=0 或 m=n 时成立，也符合空排列的约定。
Q4：A(n,m) 和 C(n,m) 有什么关系？
A： A(n,m) = C(n,m) × m! 。即排列数 = 组合数 × 内部排列数。
Q5：计算大数阶乘有什么技巧？
A： 通常使用计算器或编程计算。组合计算中常用约分技巧，如 C(15,4) = (15×14×13×12)/(4×3×2×1) 逐步约分。
📖 排列组合公式速查表
- 排列数 A(n,m) n!/(n-m)!
- 组合数 C(n,m) n!/(m!(n-m)!)
- 全排列 n! n×(n-1)×…×1
- 二项式系数 C(n,0)+…+C(n,n)=2ⁿ